Magic Squares 4 x 4

Kombinatorik

Die Zahl der 4 x 4 Magischen Quadrate beträgt 7.040.
Tatsächlich sind es jedoch nur 880 „echte“ magische Quadrate.
Aus diesen „echten“ Quadraten lassen sich durch Tauschen und Spiegeln von Spalten und Zeilen die angeführten 7.040 magischen Quadrate bilden.

Die magischen Quadrate sind durch Einschränkungen der logischen Kombinationsmöglichkeiten in der Besetzung der 16 Felder definiert.

Die 16 Felder der 4 x 4 Matrix lassen sich mit den Zahlen 1, 2, … 15, 16 auf
16¹⁶ = 18.446.744.073.709.600.000 verschiedene Arten besetzen.

Darin enthalten alle denkbaren Mehrfachbesetzungen, also zum Beispiel

7	7	7	7		4	5	5	16
7	7	7	7		12	3	3	4
7	7	7	7		9	14	12	6
7	7	7	7		4	7	4	5

Schränkt man die Möglichkeiten auf Einmalbesetzungen ein, dann ergeben sich lediglich
16! = 16x15x14x13x12x11x10x9x8x7x6x5x4x3x2x1= 20.922.789.888.000 Kombinationsmöglichkeiten Eine immerhin noch ganz ordentlich große Zahl. Zwei Beispiele:

1	2	3	4		1	13	15	5
5	6	11	12		4	3	11	7
10	9	7	8		9	14	12	6
13	14	15	16		10	8	2	6

Nun fordert man von einem magischen Quadrat, dass die Zeilensummen (und die Spaltensummen und die Diagonalensummen) identisch sind. Bei einem 4 x 4 Quadrat heißt das, dass die Summen jeweils den Wert 34 annehmen. Es stellt sich daher die Frage, wie viele Möglichkeiten es gibt, dass alle vier Zeilen, auf die sich die sechzehn Ziffern aufteilen und die alle vier voneinander verschieden sind, diese Summe aufweisen. Das sind immer noch sehr viele, nämlich 3.121.348.608. Wiederum zwei Beispiele:

2	7	10	15		1	13	15	5
3	5	12	14		2	14	11	7
6	1	16	11		9	3	12	10
13	9	8	4		6	8	4	16

Damit haben wir allerdings noch kein magisches Quadrat, notwendig ist außerdem, dass auch die Spaltensummen jeweils den Wert 34 annehmen. Dafür, dass sowohl die Zeilen als auch die Spalten diesen Wert aufweisen gibt es nun nur noch 549.504 Möglichkeiten. Zwei Beispiele:

9	10	2	13		13	11	9	1
8	14	11	1		10	14	8	2
12	3	15	4		4	3	12	15
5	7	6	16		7	6	5	16

Was nun noch fehlt ist, dass auch die Summen der beiden Diagonalen jeweils den Wert 34 aufweisen. Wir kommen dann auf die oben angeführt 7.040 Möglichkeiten. Nochmals zwei Beispiele:

16	3	2	13		15	6	12	1
5	10	11	8		2	7	9	16
9	6	7	12		3	10	8	13
4	15	14	1		14	11	5	4

Das linke Quadrat ist auf dem berühmten Kupferstich „Melancolia“ von Albrecht Dürer abgebildet.

Angemerkt sei, dass sich im 4×4 Magischen Quadrat nicht nur die Spalten, die Zeilen und die Diagonalen, sondern auch die vier Eckpunkte und auch die vier inneren Felder immer zu 34 addieren (im linken Quadrat also 16+13+4+7 und 10+11+6+7). Das gilt auch für die Felder, die die inneren vier Felder einschließen und sich gegenüber liegen (also 3+2+15+14 und 5+9+8+12).

Im Beispiel rechts werden die inneren vier Felder von den aufeinanderfolgender Zahlen 7, 8, 9, 10 gebildet, wenn auch nicht in dieser Reihenfolge (von den 7.040 Fälle werden die inneren Felder 128 mal von den Zahlen 7, 8, 9, 10 gebildet, nie allerdings in dieser Reihenfolge).