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… demnächst (Ende September)

Komponenten am Beispiel der 4 x4 Matrix

Das Magische Quadrat 4×4 hat die folgenden Kennzeichen:
Die 4×4 = 16 Felder sind durch die Ziffern 1 bis 16 zu besetzen, jede der 16 Ziffern wird genau einem Feld zugeordnet. Die Summen der Werte in den vier Zeilen sind alle gleich, ebenso die Summen der Werte in den vier Spalten und die Summen der Werte in den beiden Diagonalen.
Die Gesamtsumme der Zahlen in allen 16 Zellen beträgt 1+2+3+…+14+15+16= 136.
Da es vier Zeilen gibt, muss die Summe jeder Zeile 136/4=34 betragen.
Die Summe der Zahlen in jeder Spalte beträgt ebenfalls 34.
Die Summe der Zahlen in den beiden Diagonalen beträgt jeweils ebenfalls 34.

Die Bedingungen sind in dem folgenden Quadrat links sind ganz offensichtlich nicht erfüllt.
Das Quadrat auf der rechten Seite erfüllt alle Bedingungen.

Die Kombination der folgenden Zahlen ergibt 34.

16

3

2

13

Eine derartige Kombination ist ein Beispiel für eine Komponente eines magischen Quadrats (eine Zeile oder eine Spalte oder eine Diagonale).

Wie viele derartige Kombination gibt es? Formal stellt sich das Problem wie folgt:

Wie viele Kombination von vier Objekten aus einer Menge von sechzehn unterschiedlichen Objekten gibt es. Oder hier: Wie viele Kombination von vier unterschiedlichen Zahlen im Zahlenbereich von 1 bis 16 gibt es? Die Formel dafür lautet:

N!/(N-n)!/n! = 16!/(16-4)!/4! = 16!/12!/4! = (16*15*14*13)/(4*3*2*1) = 1.820.

Nicht berücksichtigt ist dabei, dass die Summe der Zahlen jeweils 34 betragen muss.
Unter Berücksichtigung dieser Bedingung gibt es lediglich

n = 86

unterschiedliche Kombinationen, also offenbar eine überschaubare Zahl.

Diese 86 Zeilen lassen sich wiederum miteinander kombinieren. Betrachtet werden also die Kombinationen von 4 Zeilen, die zusammen jeweils ein Quadrat bilden. Die Zahl der möglichen Kombinationen (Quadrate) lässt sich nach der schon genannten Formel bestimmen:

86!/(86-4)!/4! = 2.123.555

Das folgende Quadrat zeigt ein Beispiel.

16	3	1	14
5	10	11	8
9	6	7	12
8	15	10	1

In jeder Zeile ergibt sich eine Summe von 34. Allerdings sind in dieser Anordnung nicht alle 16 Ziffern berücksichtigt. Entsprechend finden sich bestimmte Ziffern nicht nur einfach, sondern mehrfach (z.B. die Ziffer „1“ sowohl in Zeile 1 als auch in Zeile 4).
Wenn man nun die Fälle betrachtet, in denen sich nicht nur für die vier Zeilensummen jeweils die gleiche Summe ergibt, sondern in denen auch jeweils alle 16 Ziffern berücksichtigt sind (also keine Ziffer mehr als einmal auftaucht), dann ergeben sich lediglich

9.408 Kombinationen,

also Quadrate mit den Zeilensummen S = 34. Wir wollen sie Z-Quadrate nennen.

Allerdings steckt in jeder dieser Kombinationen eine erheblich größere Zahl quasi identischer Quadrate. Denn ausgewiesen ist in jeder Zeile nur eine einzelne, ausgewählte, Anordnung der vier Ziffern. Tatsächlich gibt es jedoch 24 mögliche Anordnungen dieser vier Ziffern (gemäß der Formel n! also im vorliegenden Fall 4! = 4*3*2*1 = 24). Durch andere Anordnungen ändert sich die Zeilensumme nicht.

Die folgenden beiden Quadrate sind insoweit identisch, als die Zeilen jeweils die selben Zahlen enthalten, und sich also nur in der Reihenfolge unterscheiden.

Wenn es in einer einzelnen Zeile 24 unterschiedliche Anordnungen gibt, dann gibt es für alle vier Zeilen des Quadrats zusammen 24*24*24*24 = 331.776 Anordnungen.  – und zwar für jede einzelne der oben angeführten 9.408 Kombinationen. In der Summe haben wir es also mit 331.776 * 9.408 = 3.121.348.608 Z-Quadraten zu tun (außerdem lässt sich noch die Reihenfolge der vier Zeilen ändern, wir hätten damit also nochmals n! = 4! = 24 mal mehr Quadrate).

In wie vielen dieser Quadrate haben nun nicht nur die Zeilen, sondern auch die Spalten eine Summe von S=34 (wir wollen sie Z-S-Quadrate nennen)? Hierzu gibt es keine einfache Formel.

Man sieht dies beispielsweise schon daran, dass in ganz ähnlichen Konstellationen sehr unterschiedlich viele magische Quadrate stecken.
In dem folgenden, auf der linken Seite abgebildeten Quadrat stecken, wie beschrieben 331.776 unterschiedliche Quadrate mit identischen Zeilensummen, die man durch bloße Veränderung der Reihenfolge der Ziffern in den Zeilen erhält. Allerdings ergibt sich in keinem einzigen der dadurch bezeichneten Fälle ein Z-S-Quadrat, also ein Quadrat, in dem sowohl die Zeilensummen als auch die Spaltensummen immer denselben Wert (S=34) aufweisen.
Auch im rechten Quadrat stecken 331.776 unterschiedliche Quadrate mit identischen Zeilensummen. In dieser Gruppe von 331.776 Quadraten befinden sich aber immerhin 840 Z-S-Quadrate, also Quadrate, in denen auch die Spaltensummen jeweils den Wert 34 aufweisen.

Linke Seite:
Quadrate mit identischen Zeilensummen (Z-Quadrate): 331.766
Quadrate mit identischen Zeilen- und Spaltensummen (Z-S-Quadrate): 0
Rechte Seite:
Quadrate mit identischen Zeilensummen (Z-Quadrate): 331.766
Quadrate mit identischen Zeilen- und Spaltensummen (Z-S-Quadrate): 840

Es gibt unter den 9.408 Konstellationen (Z-Quadraten) insgesamt 48 Konstellationen (also ca. 0,5 Prozent), in denen jeweils 840 Z-S-Quadrate, also Quadrate mit identischen Zeilen- und Spaltensummen, stecken. Ein Beispiel einer solchen Konstellation ist, wie gesagt, in der vorausgehenden Matrix rechts abgebildet. Und es gibt 3.144 Konstellationen, in denen jeweils überhaupt kein derartiges Quadrat steckt (das ist etwa ein Drittel der 9.408 Konstellationen).

Die folgende Tabelle gibt einen Überblick. Es gibt nur die angegebenen Werte, es gibt also keine Konstellation (kein Z-Quadrat) in denen z.B. 23 oder 36 oder 300 usw. Quadrate mit identischen Zeilen- und Spaltennummern stecken.

A	B	C = A x B
In so vielen Konstellationen (Z-Quadraten) stecken …	… jeweils so viele Quadrate mit identischen Zeilen- und Spaltensummen (Z-S-Quadrate)	Zahl der Quadrate mit identischen Zeilen und Spatensummen (Z-S-Quadrate)
3.144	0	0
1.944	24	46.656
1.368	48	65.664
1.176	72	84.672
600	96	57.600
384	120	46.080
240	144	34.560
240	192	46.080
24	216	5.184
24	288	6.912
48	336	16.128
72	408	29.376
24	696	16.704
72	744	53.568
48	840	40.320
9.408	Summen	549.504

Es gibt insgesamt 549.504 Quadrate, in denen alle Zeilen- und Spaltensummen übereinstimmen (Z-S-Quadrate).

Nicht in jeder Matrix mit identischen Zeilen- und Spaltensummen steckt nun aber auch ein Magisches Quadrat (MQ-Quadrat). Hierzu müssen auch die Diagonalen-Summen jeweils denselben Wert (S=34) aufweisen.

Tatsächlich beinhalten die 549.504 Z-S-Quadraten lediglich 7.080 magische Quadrate (vgl. die folgende Tabelle).

Wie gerade beschrieben, stecken in 48 der Z-Quadrate jeweils 840 Z-S-Quadrate. Diese 48 Z-Quadrate enthalten also 48*840 = 40.320 Z-S-Quadrate. Und in diesen 40.320 Z-S-Quadraten stecken insgesamt 1.216 Magische Quadrate (siehe die vorletzte Zeile in der folgenden Tabelle).

Ein großer Teil der Magischen Quadrate steckt also in einer relativ kleinen Anzahl von Z-Quadraten:
48 Z-Quadrate (≈0,5% aller Z-Quadrate)
beinhalten
1.216 Magische Quadrate (≈17,3% aller Magischen Quadrate).

Auf der anderen Seite des Spektrums findet sich folgendes Ergebnis:
1.944 Z-Quadrate (≈20,6% aller Z-Quadrate)
beinhalten
272 Magische Quadrate (≈3,8% aller Magischen Quadrate).

In so vielen Z-Quadraten stecken …	… jeweils so viele Z-S-Quadrate	In so vielen Z-S-Quadraten stecken …	… so viele Magische Quadrate
3.144	0	0	0
1.944	24	46.656	272
1.368	48	65.664	447
1.176	72	84.672	80
600	96	57.600	352
384	120	46.080	576
240	144	34.560	352
240	192	46.080	160
24	216	5.184	0
24	288	6.912	384
48	336	16.128	832
72	408	29.376	384
24	696	16.704	448
72	744	53.568	1.536
48	840	40.320	1.216
9.408	Summen	549.504	7.080

Bei näherer Betrachtung ergibt sich ein nochmals differenzierteres Bild.
In 16 der angeführten 48 Z-Quadrate stecken jeweils 16 MQ-Quadrate, in weiteren 16 Quadraten jeweils 20 MQ-Quadrate und in den übrigen 16 jeweils 40 MQ-Quadrate.
Wir haben es im letzten Fall also mit 16*40 = 640 MQ-Quadraten zu tun, das sind ca. 9 Prozent aller MQ-Quadrate, während die 16 Z-Quadrate, die diese MQ-Quadrate enthalten, nur etwa 0,2% aller Z-Quadrate ausmachen.
Die folgende Abbildung zeigt beispielhaft eines dieser 16 Z-Quadrate, sowie, ebenfalls beispielhaft, zwei der 40 Magischen Quadrate, die in diesem Z-Quadrat stecken.

Z-Quadrat

	1	8	12	13	34
	3	6	10	15	34
	2	7	11	14	34
	4	5	9	16	34
34	10	26	42	58	34

MQ-Quadrate

	8	1	12	13	34
	3	15	10	6	34
	14	2	7	11	34
	9	16	5	4	34
34	34	34	34	34	34

	12	13	1	8	34
	6	3	15	10	34
	7	2	14	11	34
	9	16	4	5	34
34	34	34	34	34	34

Das Modell von March und Simon ist im Notebook Archiv von mathematica zu finden.

https://notebookarchive.org/2022-03-60cqzmk

Die Parameter lassen sich durch die Schieberegler variieren, so dass die jeweiligen Variablenverläufe direkt angezeigt werden. Falls Sie das mathematica Programm nicht haben, geht das durch anklicken des Buttons „open in wolfram-cloud“. Dann werden Sie wahrscheinlich aufgefordert, eine Cloud-Id zu generieren. Das Arbeiten in der Wolfram-Cloud ist kosten- und schmerzfrei.

Kombinatorik

Die Zahl der 4 x 4 Magischen Quadrate beträgt 7.040.
Tatsächlich sind es jedoch nur 880 „echte“ magische Quadrate.
Aus diesen „echten“ Quadraten lassen sich durch Tauschen und Spiegeln von Spalten und Zeilen die angeführten 7.040 magischen Quadrate bilden.

Die magischen Quadrate sind durch Einschränkungen der logischen Kombinationsmöglichkeiten in der Besetzung der 16 Felder definiert.

Die 16 Felder der 4 x 4 Matrix lassen sich mit den Zahlen 1, 2, … 15, 16 auf
16¹⁶ = 18.446.744.073.709.600.000 verschiedene Arten besetzen.

Darin enthalten alle denkbaren Mehrfachbesetzungen, also zum Beispiel

7	7	7	7		4	5	5	16
7	7	7	7		12	3	3	4
7	7	7	7		9	14	12	6
7	7	7	7		4	7	4	5

Schränkt man die Möglichkeiten auf Einmalbesetzungen ein, dann ergeben sich lediglich
16! = 16x15x14x13x12x11x10x9x8x7x6x5x4x3x2x1= 20.922.789.888.000 Kombinationsmöglichkeiten Eine immerhin noch ganz ordentlich große Zahl. Zwei Beispiele:

1	2	3	4		1	13	15	5
5	6	11	12		4	3	11	7
10	9	7	8		9	14	12	6
13	14	15	16		10	8	2	6

Nun fordert man von einem magischen Quadrat, dass die Zeilensummen (und die Spaltensummen und die Diagonalensummen) identisch sind. Bei einem 4 x 4 Quadrat heißt das, dass die Summen jeweils den Wert 34 annehmen. Es stellt sich daher die Frage, wie viele Möglichkeiten es gibt, dass alle vier Zeilen, auf die sich die sechzehn Ziffern aufteilen und die alle vier voneinander verschieden sind, diese Summe aufweisen. Das sind immer noch sehr viele, nämlich 3.121.348.608. Wiederum zwei Beispiele:

2	7	10	15		1	13	15	5
3	5	12	14		2	14	11	7
6	1	16	11		9	3	12	10
13	9	8	4		6	8	4	16

Damit haben wir allerdings noch kein magisches Quadrat, notwendig ist außerdem, dass auch die Spaltensummen jeweils den Wert 34 annehmen. Dafür, dass sowohl die Zeilen als auch die Spalten diesen Wert aufweisen gibt es nun nur noch 549.504 Möglichkeiten. Zwei Beispiele:

9	10	2	13		13	11	9	1
8	14	11	1		10	14	8	2
12	3	15	4		4	3	12	15
5	7	6	16		7	6	5	16

Was nun noch fehlt ist, dass auch die Summen der beiden Diagonalen jeweils den Wert 34 aufweisen. Wir kommen dann auf die oben angeführt 7.040 Möglichkeiten. Nochmals zwei Beispiele:

16	3	2	13		15	6	12	1
5	10	11	8		2	7	9	16
9	6	7	12		3	10	8	13
4	15	14	1		14	11	5	4

Das linke Quadrat ist auf dem berühmten Kupferstich „Melancolia“ von Albrecht Dürer abgebildet.

Angemerkt sei, dass sich im 4×4 Magischen Quadrat nicht nur die Spalten, die Zeilen und die Diagonalen, sondern auch die vier Eckpunkte und auch die vier inneren Felder immer zu 34 addieren (im linken Quadrat also 16+13+4+7 und 10+11+6+7). Das gilt auch für die Felder, die die inneren vier Felder einschließen und sich gegenüber liegen (also 3+2+15+14 und 5+9+8+12).

Im Beispiel rechts werden die inneren vier Felder von den aufeinanderfolgender Zahlen 7, 8, 9, 10 gebildet, wenn auch nicht in dieser Reihenfolge (von den 7.040 Fälle werden die inneren Felder 128 mal von den Zahlen 7, 8, 9, 10 gebildet, nie allerdings in dieser Reihenfolge).